Schwingungen

Definition

Eine mechanische Schwingung ist die periodische Bewegung eines Körpers um seine Ruhelage.

Schwingungsdauer

Die Periodendauer oder Schwingungsdauer T ist die zeitliche Dauer einer vollständigen Schwingung.

$$T=\frac{t}{n} $$

Einheit

$$\left[ T\right] =1s$$

Frequenz

Die Frequenz f gibt an, wie oft ein Körper in einer Sekunde hin und her schwingt.

$$f=\frac{1}{T}$$

Einheit

$$\left[ f\right] =1Hz$$

Elongation

Die Elongation oder momentane Auslenkung y(t) gibt an, wie weit der schwingende Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt von seiner Ruhelage entfernt ist.

$$y\left( t\right) =y_{max}\cdot sin\left( \omega t+\varphi_{0} \right)$$

Einheit

$$\left[ y\left( t\right) \right] =m$$

Amplitude

Die Amplitude y_max ist der gröβte Abstand des schwingenden Körpers von der Ruhelage.

Einheit

$$\left[ y_{max}\right] =m$$

Harmonische Schwingung

Eine Schwingung bei der die Elongation y in Abhänigkeit der Zeit t eine Sinuskurve ergibt, bezeichnet man als Harmonische Schwingung oder Sinusschwingung.

Rücktreibende Kraft:

$$\overrightarrow{F} =-D\cdot \overrightarrow{y} $$

Phasenwinkel

Der Winkel φ, den der Radiusvektor zu einem bestimmten Zeitpunkt t mit der positiven x-Achse einschlieβt heiβt Phasenwinkel oder Phase der Schwingung. Die Phase kennzeichnet den augenblicklichen Schwingungszustand.

$$\varphi_{0} =\omega t$$

Einheit

$$\left[ \varphi_{0} \right] =rad$$

y(t) - t - Gesetz

Eine lineare Schwingung, die mit der Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung übereinstimmt heiβt harmonische Schwingung oder Sinusschwingung.

$$y\left( t\right) =y_{max}\sin \left( \omega t+\varphi_{0} \right) $$

Kreisfrequenz

$$\omega =2\pi f$$ $$\omega =\frac{2\pi }{T} $$

Einheit

$$\left[ \omega \right] =\frac{rad}{s} $$

Auslenkung y, Geschwindigkeit v und Beschleunigung a

$$y\left( t\right) =y_{max}\sin \left( \omega t\right) $$ $$\frac{d}{dt} y\left( t\right) \ =\ v(t)$$ $$v\left( t\right) =y_{max}\omega \cos \left( \omega t\right) $$ $$\frac{d}{dt} v\left( t\right) =a\left( t\right) $$ $$a\left( t\right) =-\omega^{2} y_{max}\sin \left( \omega t\right) $$

Fadenpendel

Richtgröβe

$$D=m\omega^{2} $$ $$D=\frac{m\cdot g}{l} $$

Periodendauer

$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g} } $$

Energie eines harmonischen Oszillators

$$E_{pot}=\frac{1}{2} D\cdot y^{2}_{max}\sin^{2} \left( \omega t\right) $$ $$E_{kin}=\frac{1}{2} D\cdot y^{2}_{max}\cos^{2} \left( \omega t\right) $$ $$E_{ges}=\frac{1}{2} D\cdot y^{2}_{max}$$

Überlagerungen von Schwingungen

Frequenz der Schwebung

$$f_{s}=\left| {}f_{1}-f_{2}\right| $$

Frequenz des Schwebungstons

$$f=\frac{f_{1}+f_{2}}{2} $$