Limites

limites

Cas 1 limite en +∞

Si les nombres d'une fonction f(x) deviennent plus en plus grand si on prend x qui rapproch une ininité

$$f\left( x\right) \rightarrow +\infty $$

On dit que ‹‹la limite de f(x) est plus l'infini›› on note

$$\lim_{x\rightarrow +\infty } f\left( x\right) =+\infty $$

ou

$$\lim_{x\rightarrow -\infty } f\left( x\right) =+\infty $$

ou en générale

$$\lim_{x\rightarrow \infty } f\left( x\right) =+\infty $$

Cas 2 limite en -∞

Si les nombres de f(x) deviennent plus en plus petit si on prend x qui rapproch une ininité

$$f\left( x\right) \rightarrow -\infty $$

On dit que ‹‹la limite de f(x) est moins l'infini›› on note

$$\lim_{x\rightarrow +\infty } f\left( x\right) =-\infty $$

ou

$$\lim_{x\rightarrow -\infty } f\left( x\right) =-\infty $$

ou en générale

$$\lim_{x\rightarrow \infty } f\left( x\right) =-\infty $$

Cas 3 limite en un point

Si les nombres de f(x) se rapproche en un point si on prend x qui rapproch une ininité

$$f\left( x\right) \rightarrow a $$

On dit que ‹‹la limite de f(x) est a›› on note

$$\lim_{x\rightarrow +\infty } f\left( x\right) =a $$

ou

$$\lim_{x\rightarrow -\infty } f\left( x\right) =a $$

ou en générale

$$\lim_{x\rightarrow \infty } f\left( x\right) =a $$

Limite à droite et a gauche

Definition

Une fonction f possede une limite en a si et seulement si f possede une limite a gauche et a droite de a et que les limites sont égales.

$$\lim_{x\rightarrow a^{+}} f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a^{-}} f(x)=\lim_{x\rightarrow a} f\left( x\right)$$

Les asyptotes

Definition

Une asymptote est une droite que a pour équation une valeur que f(x) va jamais atteindre. Autrement dit une asymptote est une droite telle que la distance entre l'asymptote est la droite rapproche 0.

Asymptote horizontale

On note asyptote horizintale : A.H.

Comme A.H. est une droite et est une consante on peut conclure que:

$$A.H.\equiv y$$

nouveau sign

On lit ‹‹l'asymptote horizontale a pour équation y››

Asymptote verticale

On note asyptote verticale : A.V.

$$A.V.\equiv x$$

Asymptote Oblique

On note asyptote oblique : A.O.

Comme A.O. est une droite on peut conclure que:

$$A.O.\equiv ax + b$$

À retenir

On a jamais une A.H. et une A.O. pour une seul fonction dans -∞ ou +∞. Comme si on considére a la pente de l'asymptote a=0 qui signifie une A.H. ou a=x qui signifie une A.O. (x un nombre quelconque)

Terme du plus haut degré

Definition

Soit

$$f(x)=\frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{1}x+b_{0}} $$

une fraction rationelle avec

$$\left( a_{n}\neq 0;\ b_{m}\neq 0\right)$$

Alors la limite quand f(x) tend vers -∞ ou +∞ est égale a la limite du rapport du termes du plus haut degré du numèrateur et du dènominateur.

$$\lim_{x\rightarrow \pm \infty } \frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{1}x+b_{0}} =\lim_{x\rightarrow \pm \infty } \frac{a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}$$

Demonstration

$$\lim_{x\rightarrow \pm \infty } f\left( x\right)$$ $$=\lim_{x\rightarrow \pm \infty } \frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{1}x+b_{0}}$$ $$=\lim_{x\rightarrow \pm \infty } \frac{a_{n}x^{n}(\overbrace{1+\frac{a_{n-1}}{a_{n}x} +...+\frac{a_{1}}{a_{n}x^{n-1}} +\frac{a_{0}}{a_{n}x^{n}} )}^{\rightarrow 1} }{b_{m}x^{n}\underbrace{\left( 1+\frac{b_{m-1}}{b_{m}x} +...+\frac{b_{1}}{b_{m}x^{m-1}} +\frac{b_{0}}{b_{m}x^{m}} \right) }_{\rightarrow 1} } $$ $$=\lim_{x\rightarrow \pm \infty } \frac{a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{n}} $$

cqfd.

Limites des fonctions trigonometriques

Théorème d'encadrement

Soit f, g et h trois fonctions définies sur l'intervalle ouvert I telles que:

$$h\left( x\right) \leq f(x)\leq g(x)$$

Si

$$\lim_{x\rightarrow a} h(x)=\lim_{x\rightarrow a} g\left( x\right) =l$$

avec

$$x\neq a\ \left( a\ réel\ ou\ infini\right) $$

donc

$$\lim_{x\rightarrow a} f\left( x\right) =l$$

Remarque

Le théorème d'encadrement est aussi apellée théorème de sandwich ou des gendarmes.

Théorème de comparaison par minoration ou majoration

Soit f et g deux fonction dèfinies sur un intervalle ouvert I

1. Si
$$